动态规划4--最佳加法表达式
一、心得
心得：
动态规划因为有递推表达式，所以一定可以写成递推和递归两种写法。
因为递推一定可以写成递归。
区别两种问题：
在10个数字中放任意个加号使得组成的表达式的和最小。
状态转移方程：
将m个加号插入到n个数字组成的数字串中
V(m,n) 表示将m个加号插入到n个数字组成的数字串中组成的表达式和最小的表达式
i表示在第i个数后面插入加号
V(m,n) = Min{ V(m-1,i) + Num(i+1,n) } ( i = m … n-1)
表达式的最后一个加号添加在第 i 个数字后面
这个i要试遍所有的情况
在10个数字中放5个加号使得组成的表达式的和最小。
这就分在哪个位置上面放加号或者不放加号，有点像背包问题
将m个加号插入到n个数字组成的数字串中
V(m,n) = Min{ V(m-1,n-1) , V(m,n-1) }
这里可以把dp中的两维变成1维么，不行，因为看这两维表示的意义
在n个数字中插入m个加号，每一个加号在n个数字中的位置任意
一种是在把m个加号插入n个数字中
循环先m再n
一种是在n个数字中插入m个加号
循环先n再m
都要保证n比m大，n可以取m+1
m写在n前面，n等于m+1，可以省掉一半的情况。写法方便。
i表示插入的位置，位置要在m和n中间
3个加号插入5个数字中间，i的取值3到5？？？？
这个好想：我3个加号插入5个数字中间，最后一个加号的取值肯定要保证之前两个加号最少所需的三个数字
确定递归方程中每一个变量的取值范围实在是重中之重
二、题目及分析
题意：
有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加号插入到这个数字串中,在各种可能形成的表达式中，值最小的那个表达式的值是多少。
输入：
5 3
1 2 3 4 5
输出：
24
假定数字串长度是n，添完加号后,表达式的最后一个加号添加在第 i 个数字后面，
那么整个表达式的最小值，就等于在前 i 个数字中插入 m – 1个加号所能形成的最小值，
加上第 i + 1到第 n 个数字所组成的数的值（i从1开始算）。
设V(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成
的表达式最小值，那么：
if m = 0
V(m,n) = n个数字构成的整数
else if n < m + 1
V(m,n) = ∞
else
V(m,n) = Min{ V(m-1,i) + Num(i+1,n) } ( i = m … n-1)
Num(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操作复杂度是O(j-i+1)
总时间复杂度：O(mn2) .（dp二维表已经加号的位置）
三、代码及结果
递推
1 /* 2 最佳加法表达式： 3 题意： 4 有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加号插入到这个数字串中,在各种可能形成的表达式中，值最小的那个表达式的值是多少。 5 输入： 6 5 3 7 1 2 3 4 5 8 输出： 9 24 10 11 */ 12 /* 13 预处理和排序都能很好的减少耗时 14 */ 15 #include<iostream> 16 #include<cstdio> 17 #include<cstring> 18 #include<algorithm> 19 using namespace std; 20 const int INF=0x3f3f3f3f; 21 const int N=1005; 22 int a[N],num[N][N],dp[N][N]; 23 //a[N]里面是存数字串 24 //num[i][j]表示数字串a[N]的第i位到第j位之间的数字串表示的数组 25 //dp[i][j]在i个数字中插入j个加号所能形成的表达式最小值 26 int main(){ 27 int n,m; 28 while(scanf("%d %d",&n,&m)){ 29 for(int i=1;i<=n;i++){ 30 scanf("%d",&a[i]); 31 } 32 //预处理,计算i到j数字串组成的数字 33 for(int i=1;i<=n;i++){ 34 num[i][i]=a[i];//只有一个数字 35 for(int j=i+1;j<=n;j++){ 36 num[i][j]=num[i][j-1]*10+a[j]; 37 } 38 } 39 memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); 40 for(int i=1;i<=n;i++){ 41 dp[0][i]=num[1][i];//无加号时 42 } 43 //其实就是感觉在那个位置放不放加号 44 //这里n可以写在m前面。要加一个限制条件n>m，好麻烦，所以m在前且n=m+1 45 //这里k的取值范围就是m到n，k表示在第k个数后面插入加号 46 for(int i=1;i<=m;i++) 47 for(int j=i;j<=n;j++) 48 for(int k=i;k<=j;k++) 49 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+num[k+1][j]); 50 cout<<dp[m][n]<<endl; 51 } 52 } 53
递归
1 /* 2 题意： 3 有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加号插入到这个数字串中,在各种可能形成的表达式中，值最小的那个表达式的值是多少。 4 输入： 5 5 3 6 1 2 3 4 5 7 输出： 8 24 9 子问题：将最后面的那个加号放在第i个数字的后面，计算前i个 10 数字的最佳加法表达式 11 状态：V(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成 12 的表达式最小值 13 */ 14 //不懂的位置画个实例，会很简单，因为熟悉，所以容易 15 /* 16 心得： 17 动态规划因为有递推表达式，所以一定可以写成递推和递归两种写法。 18 因为递推一定可以写成递归。 19 20 区别两种问题： 21 22 在10个数字中放任意个加号使得组成的表达式的和最小。 23 状态转移方程： 24 将m个加号插入到n个数字组成的数字串中 25 V(m,n) 表示将m个加号插入到n个数字组成的数字串中组成的表达式和最小的表达式 26 i表示在第i个数后面插入加号 27 V(m,n) = Min{ V(m-1,i) + Num(i+1,n) } ( i = m … n-1) 28 表达式的最后一个加号添加在第 i 个数字后面 29 这个i要试遍所有的情况 30 31 32 33 在10个数字中放5个加号使得组成的表达式的和最小。 34 这就分在哪个位置上面放加号或者不放加号，有点像背包问题 35 将m个加号插入到n个数字组成的数字串中 36 V(m,n) = Min{ V(m-1,n-1) , V(m,n-1) } 37 38 这里可以把dp中的两维变成1维么，不行，因为看这两维表示的意义 39 在n个数字中插入m个加号，每一个加号在n个数字中的位置任意 40 41 一种是在把m个加号插入n个数字中 42 循环先m再n 43 一种是在n个数字中插入m个加号 44 循环先n再m 45 都要保证n比m大，n可以取m+1 46 m写在n前面，n等于m+1，可以省掉一半的情况。写法方便。 47 i表示插入的位置，位置要在m和n中间 48 3个加号插入5个数字中间，i的取值3到5？？？？ 49 这个好想：我3个加号插入5个数字中间，最后一个加号的取值肯定要保证之前两个加号最少所需的三个数字 50 51 确定递归方程中每一个变量的取值实在是重中之重 52 53 */ 54 #include<iostream> 55 #include<cstdio> 56 #include<algorithm> 57 using namespace std; 58 const int INF = 99999999; 59 int a[1005],num[1005][1005]; 60 int V(int m,int n) 61 { 62 if(m == 0)//无加号 63 return num[1][n]; 64 else if(n < m+1)//加号过多 65 return INF; 66 else 67 { 68 int t = INF; 69 //这里有点像回溯，回溯的话递归里面有循环 70 //说说实话，递归真的很简单，就是把递推公式写进来 71 for(int i = m;i <= n-1;i++) //这里是n减一，排除了最后一个数字后面放加号的情况 72 t = min(t, V(m-1,i)+num[i+1][n]); 73 //不懂的位置画个实例，会很简单，因为熟悉，所以容易 74 return t; 75 } 76 } 77 int main() 78 { 79 int n,m; 80 while(~scanf("%d%d",&n,&m)) 81 { 82 for(int i = 1;i <= n;i++) 83 scanf("%d",&a[i]); 84 //预处理,计算i到j数字串组成的数字 85 for(int i = 1;i <= n;i++) 86 { 87 num[i][i] = a[i];//只有一个数字 88 for(int j = i+1;j <= n;j++) 89 { 90 //这个表达式也可以好好看一下 91 num[i][j] = num[i][j-1]*10 + a[j]; 92 } 93 } 94 cout<< V(m,n) <<endl; 95 } 96 return 0; 97 }
